Questão Comentada do Dia

Um livro de ensino médio tem 262 páginas. Os exercícios estão dispostos nas páginas numeradas com múltiplos de 5 e as soluções dos exercícios estão disposta nas páginas numeradas com múltiplos de 13. O número de folhas que não figuram exercícios ou soluções é de:

Comentário do Especialista
GABARITO: B

262 páginas são 262/2, ou seja, 131 folhas.

Múltiplos de 5:
262/5 = 52 inteiros.

Múltiplos de 13:
262/13 = 20 inteiros.

Mas da soma das duas quantidades teremos que descontar os múltiplos de 65 (=múltiplos comuns de 5 e 13), pois constam das duas contagens:
262/65 = 4 inteiros.

52 + 20 - 4 = 68 páginas contendo exercícios ou soluções.

Estas 68 páginas seriam 68 folhas (uma face usada, a outra não), não fosse a existência de folhas contendo exercícios de um lado e soluções do outro.
Essas folhas são as que têm numerações em que uma das páginas é um número múltiplo de 5 e a o do outro lado é um número múltiplo de 13.

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,45, 50, 55, 60, 65 ...
13, 2639, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130, 143 ...

Temos, então, em destaque nas linhas acima: 25,26 e 39,40.
As próximas folhas a atender esses mesmos requisitos deverão estar distantes desses, um valor igual a 65 (=5*13) ou múltiplo de 65.

Testemos:
25 + 65 = 90 (continua sendo múltiplo de 5)
26 + 65 = 91 (este não é múltiplo de 13)

Continuemos testando:

25 + 130 = 155 (continua sendo múltiplo de 5)
26 + 130 = 156 (continua sendo múltiplo de 13)

Continuemos testando:
39 + 130 = 169 (continua sendo múltiplo de 13)
40 + 130 = 170 (continua sendo múltiplo de 5)

Assim, além de 25,26 e 39,40, temos também 155,156 e 169,170.
Se adicionarmos outros 130 nestes últimos, iremos ultrapassar a quantidade de páginas, que é 262: por isso, encerramos aqui essa pesquisa.

Portanto, das 68 folhas possíveis, temos que descontar essas quatro: 68 - 4 = 64.

Logo, das 131 folhas do livro, 64 contêm (num lado, ou no outro, ou em ambos os lados) os exercícios e as soluções.

Conclusão: O número de folhas em que não figuram exercícios ou soluções é de 131 - 64 = 67 folhas.

Fonte: http://www.soensino.com.br/foruns/viewtopic.php?f=2&t=29909

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